線形代数の話(固有値と固有ベクトル)

\(f\) を\(V\)上の自己準同型とします。\(a \in K \)に対して、\(V\) の部分空間\(V_{a} =\ker (f-a) =\{f(x)=ax |x\in V \} \)を\(f \)が、\( V_a \neq 0 \)を満たすとき、\(a\)に属する固有部分空間と呼びます。固有部分空間の元を固有ベクトルと呼び、\(a\)を固有値と呼びます。

\(A\in M_n (K) \) とします。以下は同値です。

1. Aには逆行列が存在する。
2. \( \det A \neq 0 \)

ただし、\( \det A \)は\(A \)の行列式です。

行列に対して行列式\( \det : M_n (K) \rightarrow K \)を行列の次数に対して帰納的に定義します。\(M_{0}(K) =0 \)に対しては、\(\det 0 =1 \)とします。
\( A =\{a_{ij} \} \in M_n (K) \) とします。 \( i =1 , \cdots n \)に対して、\( A_i \in M_{n-1} (K) \) を、\(A \)から第n列と第i行を除いた行列とします。\(A \)の行列式\( \det A\)を以下で定めます。
$$\begin{eqnarray}
\det A = \sum (-1)^{n-i} a_{in} \det A_i
\end{eqnarray}$$

[回転行列]
\( \theta \) だけ点を回転する行列を考えます。体は\(\mathbb{C} \) ⁷ とします。
$$\begin{eqnarray}
A&=&
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$
特性方程式を解きます。
$$\begin{eqnarray}
\det (X-A) &=& (X-\cos \theta )^2 +\sin \theta ^2 \\
&=& X^2 -2 \cos \theta X +1 \\
X_{\pm}&=& \cos \theta \pm i \sin \theta
\end{eqnarray}$$
固有値が分かりました。固有ベクトルの計算をしましょう。\(X_{+} \)についての固有ベクトルを求めます。以下の方程式から、\(x_1 , x_2 \)の関係を求めます。
$$\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
i\sin \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & i \sin \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix} =0
\end{eqnarray}$$
これから、\( x_1 = i x_2 \)が分かるので、固有ベクトルは、
$$\begin{eqnarray}
v_{+} =
\begin{pmatrix}
i \\
1
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$
などがあります。\(X_{-} \)についても同様の事を考えてみると、
$$\begin{eqnarray}
v_{-} =
\begin{pmatrix}
-i \\
1
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$
が分かります。教育的な理由で、以下のような計算をしてみましょう。
\(v_{+} , v_{-} \)の順で横に並べた行列
$$\begin{eqnarray}
P=
\begin{pmatrix}
i&-i \\
1&1
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$
を考え、\( P^{-1} AP \)を計算してみます。
$$\begin{eqnarray}
P^{-1} AP &=& \frac{1}{2i}
\begin{pmatrix}
1&i \\
-i&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
i&-i \\
1&1
\end{pmatrix} \\
&=&
\begin{pmatrix}
\cos \theta+i\sin \theta & 0 \\
0 & \cos \theta -i \sin \theta
\end{pmatrix} \\
&=&
\begin{pmatrix}
X_{+} & 0 \\
0 & X_{-}
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$
この計算から色々示唆が得られます。

• \( P^{-1}AP \)が左上から順に\(X_{+} , X_{-} \) と並ぶ。\( P \)を\(v_{-} , v_{+} \)で作ると\( X_{-}, X_{+} \) の順で固有値が並ぶ。
• 固有ベクトルを並べて作る行列\(P\)には逆行列がある。
• \( P^{-1} A P \)を計算すると、対角行列が出来るので、Aは固有ベクトルを基底として取った時の線形写像の表現行列になっている。従って、\( P^{-1}・P \)は線形空間で基底を変換する操作に対応する。
• 基底の変換をする線形写像は同型写像。
• 行列式は、固有値の積として計算できる。行列式が0である事と、固有値が0を含むことは同値。

以上述べた事は偶然でなく、線形代数の理論から導かれることです。面白いと思った方は教科書を買って読んでみましょう。

[微分を表現する行列]
2次までの実数係数多項式からなる線形空間
$$\begin{eqnarray}
P(X) =\left\{ a_0 +a_1 X + a_2 X^2 |a_0 , a_1 , a_2 \in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray}$$
を考えましょう。基底として\( 1,X,X^2 \)が取れます。微分をする線形写像\(D: P(X) \rightarrow P(X) \)を各基底に対して以下のように定義しましょう。
$$\begin{eqnarray}
D(1)=0, D(X) =1,D(X^2) = 2X
\end{eqnarray}$$
この基底に関する表現行列は以下のようになります。
$$\begin{eqnarray}
A=
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}$$
固有方程式 ⁸ を考えましょう。
$$\begin{eqnarray}
\det (X-A ) =X^3
\end{eqnarray}$$
微分の固有値は0だけです。固有ベクトルは、例えば\( (1,0,1 )\) とかがあります。
固有値の数 \( \neq \) 行列の次数となるときは、全ての固有値に対して固有空間が存在するとは限りません。そのような時には、広義の固有空間を考えて、対角行列を作るのでなくて、特別な形の上三角行列 ⁹ を作ります。 詳しい話は参考書を読んでほしいのですが、何回もかけると0 になってしまうベキ零行列と、有限次元性が大事な役割を果たします。
2次までの多項式なので、3回微分すると、全て0になってしまいます。表現行列を3回合成すると0になるので試してみてください。