ベイズ統計学でブログのアクセス数を解析する

マサムネのイメージ図 Python R

ブログを始めて4か月くらい経ちました。1 最初の1週間はTwitterでフォローしてくれた人が見るだけと言うサイトでしたが、現在は検索エンジンから殆どのユーザーがブログを見てくれています。
なんとなく、あるタイミングからアクセス数が増えたな~という感覚があります。機械学習系の手法で、増えた”タイミング”を検出できないでしょうか?22019年10月1日からのユーザー数は以下のグラフのように変動しています。

ブログのユーザー数
ブログのユーザー数


このブログには、ポアソン混合モデルの記事があります。そして、python で実装してみた記事もあります。
アクセス数は0以上の整数で、実感としてある時を境にアクセス数が変化したと感じています。ポアソン分布を2つ用意して、ある時点からアクセス数が変化したと仮定すれば、ポアソン混合モデル3 の変分推論で、アクセス数が変化したタイミングを捕まえる事が出来ます。
元ネタはネットサーフィンしてた時に見つけました。緑本4 の作者のサイトです。

モデルの作成

今回使うモデルを書き下しましょう。本家に倣って、アクセス数を表す変数は\( c \)、欲しいタイミングは\(\tau \)、データ数に関する添え字は\(n \) で表します。また、ポアソン分布のパラメーター\( \lambda _1 , \lambda _2 \)はそれぞれガンマ分布に従うとします。
$$\begin{eqnarray}
p( C, \tau , \lambda _1 , \lambda _2 ) &=& p(C| \tau , \lambda _1 , \lambda _2 ) p(\tau ) p(\lambda _1 ) p( \lambda _2 ) \\
p(C| \tau , \lambda _1 , \lambda _2 ) &=&
\prod_{n=1} ^{N} { \rm Poi } (c_n |\lambda _1 ) ^{\delta ( n < \tau ) } { \rm Poi } (c_n |\lambda _2 ) ^{\delta ( n \geq \tau ) } \\
p ( \tau ) &=& \frac{1}{N} \\
p(\lambda _i ) &=& {\rm Gam } (\lambda _i | a_i , b_i )
\end{eqnarray}$$
ただし、命題Pに対して \( \delta (P) \)で、Pが真のとき1 , Pが偽のとき0を表す関数とします。5
ガンマ分布やポアソン分布は以下の式です。6
$$\begin{eqnarray}
{ \rm Gam } (\lambda | a,b ) &=& C_{G}(a, b ) \lambda ^{a-1} \exp(-b\lambda )\\
C_G (a,b) &=& \frac{b^a}{\Gamma (a)} \\
{\rm Poi} (c|\lambda ) &=& \frac{\lambda ^{c}}{c!}e^{-\lambda}
\end{eqnarray}$$
隠れ変数たち\( \{ \tau, \lambda _1 , \lambda _2 \} \) は、平均場近似しておきます。
$$\begin{eqnarray}
p(\tau, \lambda _1 , \lambda _2 |C ) = q(\tau ) q(\lambda _1 ) q( \lambda _2 )
\end{eqnarray}$$

変分推論によると、以下の更新式によってパラメーターを更新していけば、データを近似する確率分布が得られます。
$$\begin{eqnarray}
E_{i\neq j}[\log p(X, Z )] &=& \int \log p(X,Z) \prod_{i\neq j} q_i dz_i \\
q^{\ast}_j (z_j) &=& \frac{\exp( E_{i\neq j} [\log p(X, Z)] )}{ \int \exp( E_{i\neq j} [\log p (X, Z)] ) dz_j }
\end{eqnarray}$$
今回の場合だと、\( X=C=\{ c_1 , \cdots , c_N \}, Z=\{Z_1 , Z_2 , Z_3 \} = \{ \tau, \lambda _1 , \lambda _2 \} \)です。

更新式の導出

パラメーターの更新に必要な計算を載せます。
$$\begin{eqnarray}
\log q (\lambda _1 ) &=& E_{\lambda _2 } [E_{\tau } [ \log p(C, \tau , \lambda _1 , \lambda _2 ) ]]\\
& \propto & E_{\tau } [ p(C| \tau , \lambda _1 ,\lambda _2 ) ] +\log p(\lambda _1 ) \\
\log q (\tau ) &=& E_{\lambda 1} [ E_{\lambda 2 }[ \log p(C, \tau , \lambda _1 , \lambda _2 ) ]]\\
&\propto & E_{\lambda 1} [ E_{\lambda 2 }[ \log p(C,|\tau , \lambda _1 , \lambda _2 ) ]]
\end{eqnarray}$$
期待値以外を計算して、確率分布の形を決定します。
$$\begin{eqnarray}
\log q (\lambda _1 )
& \propto & \left( \sum_{n} ^{\tau -1} E_{\tau } [ \delta (n< \tau ) ] c_n + a_1 -1 \right) \log \lambda _1 \\
&-& \left( \sum_{n} ^{\tau -1} E_{\tau } [ \delta (n< \tau ) ] +b \right) \lambda _1 \\
\log q (\tau )
&\propto &
\sum_{n=1} ^{\tau -1} ( c_n E_{\lambda _1} [ \log \lambda _1 ] – E_{\lambda _1}[ \lambda _1 ] )
+ \sum_{n=\tau } ^{N} ( c_n E_{\lambda _2} [ \log \lambda _2 ] – E_{\lambda _2} \lambda _2 ] )
\end{eqnarray}$$
\( \log q(\tau) \)の計算では、 \( \delta (\tau <n ) \)が \( \tau = n, \cdots , N \) で0になることを使いました。\( \log \) を取った部分の計算から、パラメーターを更新した後の確率分布がガンマ分布やカテゴリー分布になることが分かります。
$$\begin{eqnarray}
q (\lambda _i ) &=& { \rm Gam} (\lambda _i |\hat{a_i} , \hat{b_i} )\\
\hat{a_i} &=& \sum c_n E_{\tau } [\delta ( n < \tau ) ] +a_i \\
\hat{b_i} &=& \sum E_{\tau } [\delta ( n \geq \tau ) ] +b_i \\
q (\tau ) &=& \hat{ \pi _{\tau } } \\
\hat{ \pi _{\tau } } &\propto & \exp \left\{ \sum_{n=1} ^{\tau -1} ( c_n E_{\lambda _1} [ \log \lambda _1 ] – E_{\lambda _1}[ \lambda _1 ] )
+ \sum_{n=\tau } ^{N} ( c_n E_{\lambda _2} [ \log \lambda _2 ] – E_{\lambda _2} \lambda _2 ] ) \right\}
\end{eqnarray}$$
7 計算していない期待値は、以下のようになります。\( \psi (x ) \)はディガンマ関数です。
$$\begin{eqnarray}
E_{\lambda _i } [\lambda _i ]&=& \hat{a_i} / \hat{b_i} \\
E_{\lambda _i } [\log \lambda _i ] &=& \psi(\hat{a_i} ) – \log \hat{b_i} \\
E_{\tau } [ \delta (n< \tau ) ] &=& \sum_{\tau = n+1} ^{N} \hat{\pi_{\tau} }\\
E_{\tau } [ \delta (n \geq \tau ) ] &=& \sum_{\tau = 1} ^{n} \hat{\pi_{\tau} }
\end{eqnarray}$$
\(E_{\tau } [\delta ( n< \tau ) ] = \sum_{\tau=1} ^{N} \hat{\pi_{\tau}} \delta ( n< \tau ) \)に注意しましょう。\( \tau \)について期待値を取る時は “n”が定数です。
混合ポアソンモデルの時と同じような結果が出てきました。pythonでこの計算を実装して、ブログのユーザー数が変化したタイミングを予測してしましょう。

python による実装

記事で使っているソースコードはgithub に置いてあります。
https://github.com/msamunetogetoge

変分推論の記事と殆ど同じですが、変分推論を行うクラスを写しておきます。

\(E_x \)に \( \tau \) の期待値を格納しています。
計算させてみましょう。for 文を使ってるので(?)計算が遅いのです。max_itr = 10くらいでやっても同じような結果になります。

日ごとのユーザー数と期待値を重ねて描いてみます。

期待値vs ユーザー数
期待値vs ユーザー数

事後分布がどうなっているか見てみましょう。

事後分布vs ユーザー数

山が2つありますが、後半からユーザーが増えたと判断しているようです。
ぱっと見では後半の方が正しい判断をしている雰囲気を感じます。機械学習の手法としてベイズを使うと、モデルが出した答えの確からしさが自動的に付いてくるので良い感じです。
ちなみに、変化前後での\( \lambda \)をコード内の cal.a / cal.b で見ると、23 , 33となっていました。
また、\( \tau = 35 \)となっている8ので、 11月5日が変化点に当たります。その付近に良い感じの記事があれば、正解と言う感じです。
新しく出したわけでは無いですが、勾配消失や、勾配爆発に関する記事を11/2に更新しています。
勾配消失の様子をtensorboard で可視化したのを追記したのが良かったらしく、結構読まれています。(当ブログ比)

勾配の更新に関する問題
シグモイド関数を活性化関数に使うと勾配消失問題が起こると巷で言われているので確かめてみます。勾配消失の解決策として、シグモイドでなくて、relu関数を使うと良いと言われますが、本当か検証します。 また、勾配爆発問題が起こる状況を再現し、解決策を解説します。

これは上手く変化点を的中させたと言っても良いんじゃないでしょうか。

似たような記事で、最速でtensorflow でmnist を学習させる記事も伸びそうなものですが、gist を埋め込んだだけの記事は読みにくいんでしょうね。文章+肝心なコード埋め込みの形にします。

Tensorflow でMNISTを学習して勾配情報を取り出す
tensorflow を使ってみたいと思った時に、一連の事が出来る記事です。mnistデータの読み込み、モデルの作成、学習結果の確認、勾配情報の取得について解説しています。

まとめ

  • ポアソン混合モデルの類似の事後分布を求めた
  • python で計算を実装した
  • ユーザー数のアクセス数の変化点を解析した
  • 変化点に心当たりがあったので、うまくデータを解析できた
  1. 2019年12月現在
  2. 7日のうち2日はアクセス数が落ちるのは面白いですね
  3. ポアソン分布は0以上の整数を生成してくれる分布であり、混合ポアソンモデルはいくつかのポアソン分布を組み合わせたモデルです。
  4. 2018年9月に購入しましたが、今でも手に取って読んでます。
  5. クロネッカーのデルタ関数みたいなやつです
  6. 一応、基本的な確率分布の解説記事もあって、最定義とか計算が書いてます。
  7. 紛らわしいですが、\( \pi_{\tau} \)は、 \(\tau =1 , \cdots , N \)について足し合わせたもので割ります。
  8. cal.Tau です。
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